Управляемость линейной системы

(1)

Задача. Построить программное управление U(t), с помощью которого система (1) из состояния X1 будет переведена в состояние X2 на промежутке времени [0,T]

I. Построение фундаментальной матрицы Φ(t)

Cтолбцы матрицы - линейно-независимые решения соответствующей однородной системы

Фундаментальная матрица является решением уравнения

II. Исследование на полную управляемость системы (1)

Критерий полной управляемости.

Для того чтобы система (1) была полностью управляема на отрезке [0,T], необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной, т.е.

Вывод. Система не является полностью управляемой.

Замечание. Так как матрицы A и B являются постоянными, то для исследование на полную управляемость можно было воспользоваться критерием Калмана: система (1) полностью управляема тогда и только тогда, когда ранг блочной матрицы

равен n.

Так как , а n=3, то система (1) не является полностью управляемой.

Решение задачи Коши

определяется формулой:

Пара точек <X1, X2> является управляемой на [0, T], если существует управление , которое является решением уравнения:

Критерий управляемости пары точек. Для того чтобы пара точек и была управляемой на отрезке [0, T], необходимо и достаточно, чтобы

Вывод. Пара точек X1 и X2 управляема на отрезке [0, T].

III. Построение программного управления U(t)

Все допустимые управления определяет формула:

Здесь: C - n-мерный вектор, который является решением уравнения: , а v(t) - произвольная функция, удовлетворяющая условию:

Решение уравнения

Очевидно, - свободная неизвестная. Пусть , тогда

Программное управление при :

IV. Построение программного движения

Найдем соответствующее найденному программному управлению программное движение