ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Цель: Изучение системы компьютерной алгебры Mathcad для решения геометрических задач при помощи производных и дифференциальных уравнений
Задачи:
Геометрия и дифференциальные уравнения имеют тесную связь, которая играет
важную роль в исследовании различных физических и математических явлений.
Уравнения в дифференциальной форме описывают изменение некоторой физической величины в зависимости от времени, координат или других переменных. Они часто возникают при моделировании различных процессов, таких как движение тела, теплопроводность, распространение звука и электромагнитные волны. Изучение и решение дифференциальных уравнений позволяет понять законы и принципы, лежащие в основе этих процессов.
Геометрия же изучает пространственные формы и их свойства. Она помогает понять, как объекты и структуры взаимодействуют друг с другом, а также предугадывать их дальнейшее развитие. Геометрические принципы используются во многих областях науки и техники - от архитектуры до физики.
В чем же проявляется связь геометрии и дифференциальных уравнений?
Геометрические структуры могут быть полезными инструментами для анализа и решения дифференциальных уравнений. Например, многие геометрические объекты, такие как кривые и поверхности, могут быть математически описаны с помощью дифференциальных уравнений. Изучение геометрии этих объектов позволяет увидеть связь между различными аспектам их поведения и уравнениями, описывающими соотвптствующие процессы. Также, геометрические методы могут быть использованы для решения дифференциальных уравнений.
Связь между геометрией и дифференциальными уравнениями проявляется и в более абстрактной форме. В геометрии с помощью дифференциальных уравнений можно определить пространственные кривизны и иные характеристики геометрических объектов. Это позволяет нам классифицировать и изучать различные геометрические структуры, опираясь на их математическое описание в виде дифференциальных уравнений.
Mathcad, среда символьных и численных вычислений позволяет работать с дифференциальными уравнениями. В Mathcad можно записать дифференциальное уравнение в символьной или численной форме, указать начальные условия и найти его решение. Также, решение дифференциального уравнения можно визуализировать, построив график семейства решений.
Далее будут рассмотрены несколько геометрических задач, при решений которых используется производная и дифференциальные уравнения.
Чтобы исключить из последних двух равенств 
, нужно умножить (2) на 
и (3) на 
и почленно вычесть получившиеся равенства.
Подставляем найденное решение в уравнение семейства, тем самым находим огибающие
нашего семейства окружностей.
*В геометрии огибающая плоского семейства кривых-это кривая, касательная к каждому члену семейства в некоторой точке, и эти точки касания вместе образуют всю огибающую.
Это семейство гипербол получается из данного семества гипербол поворотом на π/4 вокруг начала координат.
Найти линию, проходящую через точку M0(2,1), если отрезок любой её касательной между точкой касания и осью делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении a:b = 1:2 (считая от оси Оу).
По условию задачи KN:NM = 1:2. Треугольники KNO и NML подобны по двум углам (углы KNO =
MNO как вертикальные углы, углы OKN = NMO как накрест лежащие углы при параллельных
прямых OK и ML), откуда следует, что:
Точка N имеет координаты (Xn,0). Она принадлежит касательной, поэтому подставляем ее в уравнение касательной:
При разделении переменных мы можем потерять решения, в данном случае это x = 0 и y = 0. Очевидно, что x = 0 является решением данного уравнения.
Искомая линия проходит через точку М0(2,1), поэтому, чтобы найти С, то подставляем координаты этой точки в найденное решение дифференциального уравнения:
Таким образом, дифференциальные уравнения предоставляют инструменты для исследования и решения геометрических задач. Геометрия же позволяет проанализировать структуры, описываемые дифференциальными уравнениями. Эта взаимосвязь открывает новые возможности для математического и научного исследования, обобщая наши знания и законах природы и её структуре.
А Mathcad, в целом, является полезным инструментом для работы с дифференциальными уравнениями, а также, прекрасным ресурсом для визуализации геометрических объектов и не только.
