ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Курсовой проект по дисциплине

"Основы работы в системе компьютерной алгебры"

Геометрические задачи. Задачи сводящиеся к дифференциальным

уравнениям

Выполнила: Шарова О.В.,

студент гр. 22201

Руководитель проекта: Семенова Е. Е.

2023 год

Введение

Решение задач

Вывод

Список литературы

Введение

Цель: Изучение системы компьютерной алгебры Mathcad для решения геометрических задач при помощи производных и дифференциальных уравнений

Задачи:

• Решить несколько геометрических задач с использованием производной и дифференциальных уравнений
• Графически визуализировать геометрические объекты и решения дифференциальных уравнений

Геометрия и дифференциальные уравнения имеют тесную связь, которая играет

важную роль в исследовании различных физических и математических явлений.

Уравнения в дифференциальной форме описывают изменение некоторой физической величины в зависимости от времени, координат или других переменных. Они часто возникают при моделировании различных процессов, таких как движение тела, теплопроводность, распространение звука и электромагнитные волны. Изучение и решение дифференциальных уравнений позволяет понять законы и принципы, лежащие в основе этих процессов.

Геометрия же изучает пространственные формы и их свойства. Она помогает понять, как объекты и структуры взаимодействуют друг с другом, а также предугадывать их дальнейшее развитие. Геометрические принципы используются во многих областях науки и техники - от архитектуры до физики.

В чем же проявляется связь геометрии и дифференциальных уравнений?

Геометрические структуры могут быть полезными инструментами для анализа и решения дифференциальных уравнений. Например, многие геометрические объекты, такие как кривые и поверхности, могут быть математически описаны с помощью дифференциальных уравнений. Изучение геометрии этих объектов позволяет увидеть связь между различными аспектам их поведения и уравнениями, описывающими соотвптствующие процессы. Также, геометрические методы могут быть использованы для решения дифференциальных уравнений.

Связь между геометрией и дифференциальными уравнениями проявляется и в более абстрактной форме. В геометрии с помощью дифференциальных уравнений можно определить пространственные кривизны и иные характеристики геометрических объектов. Это позволяет нам классифицировать и изучать различные геометрические структуры, опираясь на их математическое описание в виде дифференциальных уравнений.

Mathcad, среда символьных и численных вычислений позволяет работать с дифференциальными уравнениями. В Mathcad можно записать дифференциальное уравнение в символьной или численной форме, указать начальные условия и найти его решение. Также, решение дифференциального уравнения можно визуализировать, построив график семейства решений.

Далее будут рассмотрены несколько геометрических задач, при решений которых используется производная и дифференциальные уравнения.

Решение задач

Задача №1

Написать дифференциальное уравнение семейства парабол:

Решение:

y - это функция, зависящая от x, т.е. y(x)

Получили уравнение третьего порядка.

Запишем это уравнение в более удобной для восприятия форме. Это и будет являться ответом.

Задача №2

Решение:

Находим производную по С и приравниваем ее к нулю, отсюда находим С.

Подставляем найденное решение в уравнение семейства, тем самым находим огибающие

нашего семейства окружностей.

Каждая из прямых x = -1 и x = 1 является огибающей данного семейства.

Ответ: x = -1, x = 1

*В геометрии огибающая плоского семейства кривых-это кривая, касательная к каждому члену семейства в некоторой точке, и эти точки касания вместе образуют всю огибающую.

Задача №3

Найти уравнение ортогональных траектории семейства гипербол:

Решение:

Дифференцируем по x обе части уравнения:

Запишем уравнение в более удобном виде:

Заменим в этом уравнении производную функции y на -1/y':

Получилось уравнение с разделяющими переменными:

Получили семейство ортогональных траекторий для семейства гипербол xy=C:

Это семейство гипербол получается из данного семества гипербол поворотом на π/4 вокруг начала координат.

Задача №4

Найти линию, проходящую через точку M₀(2,1), если отрезок любой её касательной между точкой касания и осью делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении a:b = 1:2 (считая от оси Оу).

Решение:

Уравнение касательной:

где (x, y) - координаты произвольной точки искомой линии.

По условию задачи KN:NM = 1:2. Треугольники KNO и NML подобны по двум углам (углы KNO =

MNO как вертикальные углы, углы OKN = NMO как накрест лежащие углы при параллельных

прямых OK и ML), откуда следует, что:

Точка N имеет координаты (X_n,0). Она принадлежит касательной, поэтому подставляем ее в уравнение касательной:

Поделим вышеполученное равенство на -1, тем самым получили:

Выразим Х_n:

Подставляем в это выражение ранее найденный X_n:

Перепишем это равенство по-другому:

Получили дифференциальное уравнение c разделяющимися переменными.

Решаем его:

При разделении переменных мы можем потерять решения, в данном случае это x = 0 и y = 0. Очевидно, что x = 0 является решением данного уравнения.

Также очевидно, что x = 0 входит в это решение при С = 0.

Искомая линия проходит через точку М₀(2,1), поэтому, чтобы найти С, то подставляем координаты этой точки в найденное решение дифференциального уравнения:

Получили, что С = 2. Тогда уравнение искомой линии выглядит так:

Вывод

Таким образом, дифференциальные уравнения предоставляют инструменты для исследования и решения геометрических задач. Геометрия же позволяет проанализировать структуры, описываемые дифференциальными уравнениями. Эта взаимосвязь открывает новые возможности для математического и научного исследования, обобщая наши знания и законах природы и её структуре.

А Mathcad, в целом, является полезным инструментом для работы с дифференциальными уравнениями, а также, прекрасным ресурсом для визуализации геометрических объектов и не только.

Список литературы

Виленкин Н. Я., Доброхотова М. А., Сафонов А. Н. Дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат. фак. / Виленкин Н. Я., Доброхотова М. А., Сафонов А. Н. — Москва: Просвещение, 1984 — 176 c.

Кузнецов, Л. А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчеты: Учебное пособие. / Л. А. Кузнецов — 13-е изд.. — СПб: Издательство «Лань», 2021 — 240 c.